Question

【题目】在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
（1）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（2）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，

事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，

P（A）= = ，P（B）= = ，

媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：

P（A ）=P（A）（1﹣P（B））= = ．

（2）解：P（C）= ，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，

P（X=0）=P（ ）=（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）= ，

P（X=1）=P（A ）+P（ ）+P（ ）

= +（1﹣ ）× = ，

P（X=2）=P（AB ）+P（A ）+P（ ）= +（1﹣ ）× = ，

P（X=3）=P（ABC）= = ，

∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P

EX= =

【解析】（1）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（2）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．