题目内容
【题目】如图,矩形ABCD所在的平面和平面互相垂直,等腰梯形中, , , , , 分别为的中点, 为底面的重心.
(Ⅰ)求证: ∥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)根据重心定义,可得连结延长交于,则为的中点,根据三角形中位线性质得∥,再由线面平行判定定理得∥平面,同理可得∥平面,因此平面∥平面,即得∥平面;(2)利用面面垂直性质定理寻找线面垂直:作AQ⊥EF,则得AQ⊥平面ABCD,作AH⊥DQ,可得AH⊥面EQDC,因此直线与平面所成角为∠ACH,解直角三角形得直线AC与平面CEF所成角正弦值
试题解析:(Ⅰ)连结延长交于,则为的中点,又为的中点,
∴∥,又∵平面,∴∥平面
连结,则∥, 平面,∴∥平面
∴平面∥平面, 平面
平面
(Ⅱ)作AQ⊥EF交EF延长线于Q,作AH⊥DQ交DQ于H,则AH⊥面EQDC
∴∠ACH就是直线AC与平面CEF所成角
在RtADQ中,AH=
在RtACH中,sin∠ACH=
直线AC与平面CEF所成角正弦值为
【题目】在高中学习过程中,同学们经常这样说:“数学物理不分家,如果物理成绩好,那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论,现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的数学和物理成绩,如下表:
编号 成绩 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
物理() | 90 | 85 | 74 | 68 | 63 |
数学() | 130 | 125 | 110 | 95 | 90 |
(1)求数学成绩对物理成绩的线性回归方程 (精确到),若某位学生的物理成绩为80分,预测他的数学成绩(结果精确到个位);
(2)要从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛,求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率.
(参考公式: , .)
(参考数据: , .)