题目内容

【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,
且∠DAB=90°,∠ABC=45°,CB= ,AB=2,PA=1

(1)求证:AB∥平面PCD;
(2)求证:BC⊥平面PAC;
(3)若M是PC的中点,求三棱锥C﹣MAD的体积.

【答案】
(1)证明:∵底面ABCD是直角梯形,且∠DAB=90°,∠ABC=45°,

∴AB∥CD,

又AB平面PCD,CD平面PCD,

∴AB∥平面PCD


(2)证明:∵∠ABC=45°,CB= ,AB=2,

∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos45°= =2.

则AC2+BC2=AB2,∴BC⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴PA⊥BC.

又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC


(3)解:在直角梯形ABCD中,过C作CE⊥AB于点E,

则四边形ADCE为矩形,∴AE=DC,AD=EC.

在Rt△CEB中,可得BE=BCcos45°=

CE=BCsin45°= ,∴AE=AB﹣BE=2﹣1=1

∴SADC= = = .,

∵M是PC的中点,∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半,

∴VCMAD=VMACD= ×SACD×( PA)= × × =


【解析】(1)利用线面平行的判定定理证明;(2)利用勾股定理证明BC⊥AC,由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥BC.从而可证得BC⊥平面PAC:(3)在直角梯形ABCD中,过C作CE⊥AB于点E,则四边形ADCE为矩形,AE=DC,AD=EC.求得CE,
计算△ACD的面积,根据M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半,求得棱锥的高,代入体积公式计算.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.

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