Question

【题目】已知椭圆的上顶点为，且过点．

（1）求椭圆的方程及其离心率；

（2）斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，当直线的斜率之积是不为0的定值时，求此时的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）1

【解析】

试题（1）由题意易得，将点代入到椭圆方程可得的值，即可得椭圆的方程及其离心率；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理，将化简为，根据其为定值得的值，然后利用弦长公式将表示为关于的函数，利用二次函数的性质可得结果.

试题解析：（1）由题意可得．

又在椭圆上，所以，解得，

所以椭圆的方程为，

所以，故椭圆的离心率.

（2）设直线的方程为．

由，消去，得，

所以，

设，则． ，

由题意，为定值，所以，即，解得．

此时

， 点到直线的距离．

．

显然，当（此时，满足），即时，取得最大值，最大值为．