题目内容
【题目】已知函数
(Ⅰ)求曲线在
处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求
的零点个数;
(Ⅲ)若函数在
上是增函数,求证:
.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.(Ⅲ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意,求得,求得
,得到切线的斜率,利用点斜式方程,即可得到切线的方程;
(Ⅱ)由,得到
在
上是增函数,进而得到
,再根据零点的存在定理,即可求解.
(Ⅲ)由题意得在
上恒成立,即
在
上恒成立,设
,利用导数得到函数
的单调性与最值,即可求解.
解:(Ⅰ)
则:
,又
所以,所求切线方程为,即
.
(Ⅱ)因为,
所以在
上是增函数,
则,
所以在
上是增函数,
又,
,
所以在
上有唯一零点,且零点在
上.
(Ⅲ)由题意,在
上恒成立,
即在
上恒成立,
当时,
;
当时,
恒成立,
设
所以,
由(Ⅱ)可知,,使
,
所以,当时,
,当
时
由此,在
单调递减,在
单调递增.
所以,
又因为,
所以
从而,
所以.
又因为,,
,
所以.
由于在
上是增函数,
所以,
故.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
P( | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
【题目】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:
使用年限x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知y对x呈线性相关关系.
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据最小二乘法求出线性回归方程的回归系数a,b;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?