Question

7．已知函数f（x）=e^x，g（x）=x-b，b∈R．
（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，求b的值；
（2）设T（x）=f（x）+ag（x），a∈R，求函数T（x）的单调增区间；
（3）设h（x）=|g（x）|•f（x），b＜1．若存在x₁，x₂∈[0，1]，使|h（x₁）-h（x₂）|＞1成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设切点为（t，e^t），由导数的几何意义，可得e^t=1，且e^t=t-b，即可得到b=-1；
（2）求出T（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；
（3）求出h（x）的分段函数，讨论x的范围，求得单调区间，对b讨论，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范围．

解答 解：（1）设切点为（t，e^t），
因为函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，
所以e^t=1，且e^t=t-b，
解得b=-1；                          
（2）T（x）=e^x+a（x-b），T′（x）=e^x+a．
当a≥0时，T′（x）＞0恒成立．                
当a＜0时，由T′（x）＞0，得x＞ln（-a）．       
所以，当a≥0时，函数T（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＜0时，函数T（x）的单调增区间为（ln（-a），+∞）． 
（3）h（x）=|g（x）|•f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-b）•{e}^{x}，x≥b}\\{-（x-b）•{e}^{x}，x＜b}\end{array}\right.$，
当x＞b时，h′（x）=（x-b+1）e^x＞0，
所以h（x）在（b，+∞）上为增函数；
当x＜b时，h′（x）=-（x-b+1）e^x，
因为b-1＜x＜b时，h′（x）=-（x-b+1）e^x＜0，
所以h（x）在（b-1，b）上是减函数；
因为x＜b-1时，h′（x）=-（x-b+1）e^x＞0，
所以h（x）在（-∞，b-1）上是增函数．
①当b≤0时，h（x）在（0，1）上为增函数．
所以h（x）_max=h（1）=（1-b）e，h（x）_min=h（0）=-b．
由h（x）_max-h（x）_min＞1，得b＜1，所以b≤0．                
②当0＜b＜$\frac{e}{e+1}$时，
因为b＜x＜1时，h′（x）=（x-b+1）e^x＞0，所以h（x）在（b，1）上是增函数，
因为0＜x＜b时，h′（x）=-（x-b+1）e^x＜0，所以h（x）在（0，b）上是减函数．
所以h（x）_max=h（1）=（1-b）e，h（x）_min=h（b）=0．
由h（x）_max-h（x）_min＞1，得b＜$\frac{e-1}{e}$．
因为0＜b＜$\frac{e}{e+1}$，所以0＜b＜$\frac{e-1}{e}$．                      
③当$\frac{e}{e+1}$≤b＜1时，
同理可得，h（x）在（0，b）上是减函数，在（b，1）上是增函数．
所以h（x）_max=h（0）=b，h（x）_min=h（b）=0．
因为b＜1，所以h（x）_max-h（x）_min＞1不成立．
综上，b的取值范围为（-∞，$\frac{e-1}{e}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．