Question

17．对于函数f（x），g（x），如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数f（x）和g（x）在点P处相切，称点P为这两个函数的切点．设函数f（x）=ax²-bx（a≠0），g（x）=lnx．
（Ⅰ）当a=-1，b=0时，判断函数f（x）和g（x）是否相切？并说明理由；
（Ⅱ）已知a=b，a＞0，且函数f（x）和g（x）相切，求切点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=-1，b=0代入函数f（x）的解析式，分别求出两个函数的导函数，由对于任意的x＞0，f′（x）≠g′（x）说明函数f（x）和g（x）不相切；
（Ⅱ）分别求出两个函数的导函数，设出切点坐标，由切点处两函数的导数值相等即可求出切点坐标．

解答 解：（Ⅰ）结论：当a=-1，b=0时，函数f（x）和g（x）不相切．
理由如下：
由条件知f（x）=-x²，由g（x）=lnx，得x＞0，
又∵f′（x）=-2x，$g'（x）=\frac{1}{x}$，
∴当x＞0时，f′（x）=-2x＜0，$g'（x）=\frac{1}{x}＞0$，
∴对于任意的x＞0，f′（x）≠g′（x）．
当a=-1，b=0时，函数f（x）和g（x）不相切；
（Ⅱ）若a=b，则f′（x）=2ax-a，$g'（x）=\frac{1}{x}$，
设切点坐标为（s，t），其中s＞0，
由题意，得 as²-as=lns，①
$2as-a=\frac{1}{s}$，②
由②，得 $a=\frac{1}{s（2s-1）}$，代入①，得 $\frac{s-1}{2s-1}=lns$（*），
∵$a=\frac{1}{s（2s-1）}＞0$，且s＞0，∴$s＞\frac{1}{2}$．
设函数 $F（x）=\frac{x-1}{2x-1}-lnx$，$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$，则 $F'（x）=\frac{-（4x-1）（x-1）}{{x{{（2x-1）}^2}}}$．
令F'（x）=0，解得x=1或$x=\frac{1}{4}$（舍）．
当x变化时，F′（x）与F（x）的变化情况如下表所示，

x	$（\frac{1}{2}，1）$	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗		↘

∴当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当$x∈（\frac{1}{2}，1）∪（1，+∞）$时，F（x）＜0．
因此，当且仅当x=1时，F（x）=0．
∴方程（*）有且仅有一解s=1．
于是，t=lns=0，因此切点P的坐标为（1，0）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所取的条件，是中档题．