Question

19．设f（x）=|x-3|+|x-4|
（Ⅰ）求函数g（x）=$\sqrt{2-f（x）}$的定义域；
（Ⅱ）若对任意的实数x，不等式f（x）≥a²-a-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由关系式可得2-f（x）≥0即|x-3|+|x-4|≤2，对x分类讨论去绝对值即可；
（2）利用绝对值定理可以得出f（x）的最小值为1，把恒成立问题转换为最值问题进行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵2-f（x）≥0
∴|x-3|+|x-4|≤2，
∴当x＜3时，3-x+4-x≤2，
解得：x≥$\frac{5}{2}$，又x＜3，
∴$\frac{5}{2}$≤x＜3
当3≤x≤4时，x-3+4-x≤2，即1≤2恒成立，
∴3≤x≤4；
当x＞4时，x-3+x-4≤2，解得：x≤$\frac{9}{2}$，又x＞4，
∴4＜x≤$\frac{9}{2}$；
综上所述，$\frac{5}{2}$≤x≤$\frac{9}{2}$，
故函数g（x）的定义域为{x|$\frac{5}{2}$≤x≤$\frac{9}{2}$ }．
（Ⅱ）∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
∴1≥a²-a-1，
∴-1≤a≤2．

点评 考查了绝对值不等式和恒成立问题，属于基础题型，应熟练掌握．