Question

20．已知定义在R的函数f（x）满足：
①f（-x）=f（x）；
②f（x-2）=f（x）；
③?x₁，x₂∈[0，1]（x₁≠x₂），$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0．
则（　　）

• A． 函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称
• B． 函数f（x）的图象关关于点（$\frac{1}{2}$，0）对称
• C． 函数f（x+1）在区间[2013，2014]内单调递增
• D． 函数f（x+1）的最小正周期为1

Answer 1

分析 由已知条件得到函数为偶函数，且为以周期为2的周期函数，并在[0，1]上单调递增，再根据图象的平移，即可判断正确答案．

解答 解：由①f（-x）=f（x）可得函数f（x）为偶函数，由②f（x-2）=f（x）可得函数f（x）是以周期为2的周期函数，
由③?x₁，x₂∈[0，1]（x₁≠x₂），$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0可得函数f（x）在[0，1]上单调递增，
∴故A，B错误，
∵函数f（x+1）是由函数f（x）的图象向左平移一个单位得到的，
∴周期不变，故D错误，
∴函数f（x+1）在区间[2013，2014]内单调性和区间[-1，0]上的单调一致，
∵函数f（x）在[-1，0]上单调递减，
∴函数f（x+1）在[-1，0]上单调递增，
∴函数f（x+1）在区间[2013，2014]内单调递增，
故选：C．

点评 本题考查二楼函数奇偶性，单调性周期性和图象的平移变换，属于中档题．