Question

8．已知函数f（x）=$\frac{2}{x+1}$，点O为坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），向量$\overrightarrow m=（{0，1}），{θ_n}$是向量${\overrightarrow{OA}_n}$与$\overrightarrow m$的夹角，则$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+\frac{{cos{θ_3}}}{{sin{θ_3}}}+…+\frac{{cos{θ_{2015}}}}{{sin{θ_{2015}}}}$的值为$\frac{2015}{1008}$．

Answer 1

分析 根据题意，$\frac{π}{2}$-θ_n是直线OA_n的倾斜角，化简$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$ 为$\frac{f（n）}{n}$，从而求出要求式子的值．

解答 解：根据题意得，$\frac{π}{2}$-θ_n是直线OA_n的倾斜角，
∴$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}{cos（\frac{π}{2}{-θ}_{n}）}$=tan（$\frac{π}{2}$-θ_n）=$\frac{f（n）}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+\frac{{cos{θ_3}}}{{sin{θ_3}}}+…+\frac{{cos{θ_{2015}}}}{{sin{θ_{2015}}}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）=2（1-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{2015}{1008}$，
故答案：$\frac{2015}{1008}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题以及求函数值的应用问题，是综合性题目．