题目内容

8.已知函数f(x)=$\frac{2}{x+1}$,点O为坐标原点,点An(n,f(n))(n∈N*),向量$\overrightarrow m=({0,1}),{θ_n}$是向量${\overrightarrow{OA}_n}$与$\overrightarrow m$的夹角,则$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+\frac{{cos{θ_3}}}{{sin{θ_3}}}+…+\frac{{cos{θ_{2015}}}}{{sin{θ_{2015}}}}$的值为$\frac{2015}{1008}$.

分析 根据题意,$\frac{π}{2}$-θn是直线OAn的倾斜角,化简$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$ 为$\frac{f(n)}{n}$,从而求出要求式子的值.

解答 解:根据题意得,$\frac{π}{2}$-θn是直线OAn的倾斜角,
∴$\frac{co{sθ}_{n}}{si{nθ}_{n}}$=$\frac{sin(\frac{π}{2}{-θ}_{n})}{cos(\frac{π}{2}{-θ}_{n})}$=tan($\frac{π}{2}$-θn)=$\frac{f(n)}{n}$=$\frac{2}{n(n+1)}$=2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),
∴$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+\frac{{cos{θ_3}}}{{sin{θ_3}}}+…+\frac{{cos{θ_{2015}}}}{{sin{θ_{2015}}}}$=2(1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$)=2(1-$\frac{1}{2016}$)=$\frac{2015}{1008}$,
故答案:$\frac{2015}{1008}$.

点评 本题考查了平面向量的应用问题,也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题以及求函数值的应用问题,是综合性题目.

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