Question

10．已知抛物线 y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为 l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为 （3，y₀）时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，利用A点坐标为 （3，y₀），可求p，可得抛物线的方程，求出直线AF的方程，与抛物线方程联立求出A，B的坐标，即可求出△OAB的面积．

解答 解：如图所示，过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，
因为A点坐标为 （3，y₀），
所以AE=3+$\frac{p}{2}$，EH=p，
所以2p=3+$\frac{p}{2}$，
所以p=2，
所以y²=4x，此时A（3，2$\sqrt{3}$），k_AF=$\sqrt{3}$，
所以直线AF的方程为$y=\sqrt{3}$（x-1），
代入抛物线方程可得3（x-1）²=4x，解得x=3或$\frac{1}{3}$，
所以y=2$\sqrt{3}$或-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以△AOB的面积为$\frac{1}{2}×1×（2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}）$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线方程、直线AF的方程是解题的关键．