题目内容
如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2．证明：
为定值．
（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2．证明：
| k1 |
| k2 |
（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2．
将其代入y2=4x，消去x，整理得y2-4my-8=0．
从而y1y2=-8．
（Ⅱ）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4）．
则
=
×
=
×
=
．
设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，
整理得y2-4ny-4=0．
所以y1y3=-4．
同理可得y2y4=-4．
故
=
=
=
．
由（Ⅰ）得
=2，为定值．
将其代入y2=4x，消去x，整理得y2-4my-8=0．
从而y1y2=-8．
（Ⅱ）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4）．
则
| k1 |
| k2 |
| y3-y4 |
| x3-x4 |
| x1-x2 |
| y1-y2 |
| y3-y4 | ||||
|
| ||||
| y1-y2 |
| y1+y2 |
| y3+y4 |
设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，
整理得y2-4ny-4=0．
所以y1y3=-4．
同理可得y2y4=-4．
故
| k1 |
| k2 |
| y1+y2 |
| y3+y4 |
| y1+y2 | ||||
|
| y1y2 |
| -4 |
由（Ⅰ）得
| k1 |
| k2 |
练习册系列答案
相关题目
上任意一点到焦点F的距离比到
轴的距离大1，（1）求抛物线C的方程；（2）若过焦点F的直线交抛物线于M，N两点，M在第一象限，且
，求直线MN的方程；（3）过点
的直线交抛物线
轴的对称点为R，求证：直线RQ必过定点．