题目内容
(本小题满分12分)如图,多面体ABCDS中,面ABCD为矩形,
,
(1)求证:CD
;
(2)求AD与SB所成角的余弦值;
(3)求二面角A—SB—D的余弦值.



(1)求证:CD

(2)求AD与SB所成角的余弦值;
(3)求二面角A—SB—D的余弦值.

(1)证明见解析。
(2)
(3)
(2)

(3)

(1)
是矩形,
--------------1分
又
-------------2分
-------------3分
CD
-------------4分
(2)由
,及(I)结论可知DA、DC、DS
两两互相垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系

--------------5分
--------------6分
--------------7分
AD与SB所成的角的余弦为
--------------8分
(3)
设面SBD的一个法向量为
--------------9分
又
∴设面DAB的一个法向量为

所以所求的二面角的余弦为
…………11分
解法二
(1)同解法一
(2)矩形ABCD,∴AD//BC,即BC=a,
∴要求AD与SB所成的角,即求BC与SB所成的角 …………5分
在
中,由(1)知,SD⊥面ABCD。
中,
CD是CS在面ABCD内的射
影,且
--------------6分
----------8分
从而SB与AD的成的角的余弦为
(3)
面ABCD.
BD为面SDB与面ABCD的交线.
SDB
于F,连接EF,
从而得:
为二面角A—SB—D的平面角 ------10分
在矩形ABCD中,对角线
中,
由(2)知在
,

而
中,SA=a,且AB=2a,

为等腰直角三角形且
为直角,

所以所求的二面角的余弦为
--------------12分


又




(2)由

两两互相垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系






(3)



又

∴设面DAB的一个法向量为


所以所求的二面角的余弦为

解法二
(1)同解法一
(2)矩形ABCD,∴AD//BC,即BC=a,
∴要求AD与SB所成的角,即求BC与SB所成的角 …………5分
在










从而SB与AD的成的角的余弦为

(3)






从而得:


在矩形ABCD中,对角线



由(2)知在


而





所以所求的二面角的余弦为


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