题目内容
（本小题满分12分）如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，
，
（1）求证：CD
;
（2）求AD与SB所成角的余弦值;
（3）求二面角A—SB—D的余弦值．
，（1）求证：CD
;（2）求AD与SB所成角的余弦值;
（3）求二面角A—SB—D的余弦值．
（1）证明见解析。
（2）
（3）
（2）
（3）
（1）
是矩形，
--------------1分
又
-------------2分
-------------3分
CD -------------4分
（2）由
，及（I）结论可知DA、DC、DS
两两互相垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系
--------------5分
--------------6分
--------------7分
AD与SB所成的角的余弦为 --------------8分
（3）
设面SBD的一个法向量为
--------------9分
又
∴设面DAB的一个法向量为
所以所求的二面角的余弦为 …………11分
解法二
（1）同解法一
（2）矩形ABCD，∴AD//BC，即BC=a，
∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角 …………5分
在
中，由（1）知，SD⊥面ABCD。
中，
CD是CS在面ABCD内的射
影，且
--------------6分
----------8分
从而SB与AD的成的角的余弦为
（3）
面ABCD．
BD为面SDB与面ABCD的交线．
SDB
于F，连接EF，
从而得：
为二面角A—SB—D的平面角 ------10分
在矩形ABCD中，对角线
中，
由（2）知在
，
而
中，SA=a，且AB=2a，
为等腰直角三角形且
为直角，
所以所求的二面角的余弦为
--------------12分
是矩形， --------------1分又
-------------2分 -------------3分 CD -------------4分（2）由
，及（I）结论可知DA、DC、DS两两互相垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系
--------------5分 --------------6分 --------------7分AD与SB所成的角的余弦为 --------------8分（3）
设面SBD的一个法向量为 --------------9分又
∴设面DAB的一个法向量为
所以所求的二面角的余弦为
…………11分解法二
（1）同解法一
（2）矩形ABCD，∴AD//BC，即BC=a，
∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角 …………5分
在
中，由（1）知，SD⊥面ABCD。中，CD是CS在面ABCD内的射影，且 --------------6分 ----------8分从而SB与AD的成的角的余弦为
（3）
面ABCD． BD为面SDB与面ABCD的交线． SDB 于F，连接EF， 从而得：
为二面角A—SB—D的平面角 ------10分在矩形ABCD中，对角线
中，由（2）知在
，而
中，SA=a，且AB=2a，为等腰直角三角形且为直角，所以所求的二面角的余弦为
--------------12分
练习册系列答案
相关题目
中，AB=1，AC=2，
，D，E分别是
和
的中点．
所成的角．
中，四边形
是正方形，
∥
，
，
，
，
，
为
的中点。
∥平面
；
平面
的大小。
、
，直线a、b，若
，
，则
；
两全等的四棱柱为直四棱柱；
，其余各条棱得长都为
，则这个四面体的体积最大时，
所成的角,则
=" " （ ） 
中，
，则
两点间的球面距离为 ．
是边长为
的正
内的一点，
，则
；类比到空间，设
内的一点，则
= ．