Question

10．O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线三点，平面α内的动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
（1）若$λ=\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$的值．
（2）若AB=1，AC=2，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=1，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）当λ=$\frac{1}{2}$时，P为线段BC的中点，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，即所求值为0；
（2）在△ABC中建立坐标系，设∠A=α，求出各点坐标，带入数量积坐标公式解出λ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=$λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）
∴点P为BC中点．
∴$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$=0．
（2）以AC所在直线为x轴，AC边上的高所在直线为y轴建立坐标系如图，

设∠BAC=α，则A（-cosα，0），B（0，sinα），C（2-cosα，0）．
∴$\overrightarrow{BC}$=（2-cosα，-sinα），$\overrightarrow{AB}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{AC}$=（2，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=λ（2+cosα，sinα）．
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=1，
∴λ[（2+cosα）（2-cosα）-sin²α]=1
即5λ=1
∴λ=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的几何运算，数量积运算，属于中档题．