Question

2．当实数k为何值时，圆C₁：x²+y²+4x-6y+12=0和圆C₂：x²+y²-2x-14y+k=0分别相交、相切、相离？

Answer 1

分析 （1）将两圆化成标准方程，算出圆心坐标和它们的半径．根据两圆相交的性质，建立关于a的不等式，解之即可得出满足条件的实数a的取值范围；
（2）根据两圆相切的性质，利用两点间的距离公式建立关于a的等式，即可解出满足条件的实数a的值；
（3）根据两圆相离的性质，建立关于a的不等式，解之即可得出满足条件的实数a的取值范围

解答 解：圆C₁：x²+y²+4x-6y+12=0，可化为（x+2）²+（y-3）²=1，圆心为（-2，3），半径为1；C₂：x²+y²-2x-14y+k=0，可化为（x-1）²+（y-7）²=50-k，圆心为（1，7），半径为$\sqrt{50-k}$．
（1）圆C₁与圆C₂相交，|$\sqrt{50-k}$-1|＜$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$＜$\sqrt{50-k}$+1，∴14＜k＜34；
（2）圆C₁与圆C₂相切，|$\sqrt{50-k}$-1|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$或$\sqrt{50-k}$+1=5，∴k=14或34；
（3）圆C₁与圆C₂相离，$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$＞$\sqrt{50-k}$+1，∴k=34．

点评 本题给出含有参数的圆方程，在满足特殊位置关系情况下求参数的值或范围．着重考查了圆的方程、两圆位置关系和两点间的距离公式等知识，属于中档题．