Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=2，当n≥2时，a_n=2a_n-1+3•2^n-1．数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和为S_n，则不等式S_n＜20的解集为{1，2，3，4}．

Answer 1

分析 由题意可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，从而写出S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$•$\frac{3}{2}$=$\frac{3{n}^{2}+n}{4}$，从而解得．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+3•2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$•$\frac{3}{2}$=$\frac{3{n}^{2}+n}{4}$，
故$\frac{3{n}^{2}+n}{4}$＜20，且n∈N^*，
故n=1，2，3，4；
故答案为：{1，2，3，4}．

点评 本题考查了数列的化简与运算及等差数列的应用．