Question

14．已知平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$满足|2$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$与$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$的夹角为150°，则|t（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{β}$|，（t∈R）的最小值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知只要将|t（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{β}$|用$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$与$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$表示，展开利用数量积和模的运算得到关于|$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|的二次函数，求最值．

解答 解：因为平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$满足|2$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$与$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$的夹角为150°，
则|t（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{β}$|²=|（t-$\frac{1}{2}$）（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）|²
=[（t-$\frac{1}{2}$）（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）]²+[$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）]²+（t-$\frac{1}{2}$）（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）•（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）
=（t-$\frac{1}{2}$）²（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）²+$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）²+（t-$\frac{1}{2}$）（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）•（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）
=（t-$\frac{1}{2}$）²（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）²+$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）|$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|
=[（t-$\frac{1}{2}$）|$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|+$\frac{3}{4}$]²+$\frac{3}{16}$$≥\frac{3}{16}$，
所以|t（$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$）-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{β}$|，（t∈R）的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积和模的运算；关键是将所求利用$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$与$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$表示．