Question

16．在周长为16的△PMN中，MN=6，则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的取值范围是（　　）

• A． [7，16）
• B． （7，16]
• C． [7，16]
• D． （7，16）

Answer 1

分析 利用向量的数量积公式表示出向量的数量积；利用三角形的余弦定理求出向量的夹角余弦；通过求二次函数的对称轴求出范围．

解答 解：设PM=x，则PN=10-x，∠MPN=θ
所以$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=x（10-x）cosθ
在△PMN中，由余弦定理得cosθ=$\frac{{（10-x）}^{2}{+x}^{2}-36}{2（10-x）•x}$，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=x²-10x+32（2＜x＜8），
分析可得当x=5时最小为7，且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$＜16，
即$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的取值范围是[7，16）；
故选：A．

点评 本题考查向量的数量积公式、三角形的余弦定理、二次函数的最值求法．