Question

8．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α=E，AD∩α=F，BD∩α=H，BC∩α=G，求证：EFHG是一个平行四边形．

Answer 1

分析 根据平行四边形的定义，利用线面平行的判定和性质证出其两组对边分别平行即可得到结论．

解答 证明：∵AC∩AD=A，
∴AC与AD确定平面ACD，
∵CD∥α，面ACD∩α=EF，
∴EF∥CD，
∵BC∩BD=B，∴BC与BD确定平面BCD，
∵CD∥α，面BCD∩α=GH，
∴GH∥CD，
∴EF∥GH．
∵AC∩BC=C，
∴AC与BC确定平面ACB，
∵AB∥α，面ACB∩α=EG，
∴EG∥AB，
∵BD∩AD=D
∴BD与AD确定平面ABD，
∵AB∥α，面ABD∩α=GF，
∴FH∥AB，
∴FH∥EG．
∴四边形EFGH是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的证明，利用直线和平面平行的判定和性质，是解决本题的关键．