题目内容
【题目】设,已知函数
,
.
(Ⅰ)设,求
在
上的最大值.
(Ⅱ)设,若
的极大值恒小于0,求证:
.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ)对函数求导,得出
的单调性,因为
在区间
单调递减,在区间
单调递增,所以函数
在闭区间
上的最大值就是区间
端点的函数值中最大的一个,利用作差法比较它们的大小,即可得到函数
在
上的最大值.
(Ⅱ)利用导数求出函数的极大值
,构造函数
,
,利用导数得出
,从而得到
,
,通过换元并构造函数
,利用导数得出函数
的最大值,即可证明
.
(Ⅰ)由题知,
当时,
;当
时,
从而的单调递增区间是
,递减区间是
从而,,
于是;
当时,
,所以
;
当时,
,所以
;
综上所得
(Ⅱ)依题知,则
,因为
存在极大值,则关于x的方程
,有两个不等的正根,不妨
,则
,得
,且
,
设列表如下:
+ | 0 | — | 0 | + | |
+ | 0 | — | 0 | + | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
从而极大值,又
,
从而,对
恒成立,
设,
,则
因为,所以
所以在
上递增,从而
所以,
,
设,则
,又
.
若,
;若
,
;
从而,即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目