题目内容
【题目】
已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
．
（1）求数列的通项公式
与前项和；
（2）将数列的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列
的前三项，记数列
的前项和为
，若存在
，使得对任意
，总有
成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由
利用等差数列性质得
，
，再根据等差数列广义通项公式得：
，最后利用等差数列和项公式求前
项和
，（2）先根据题意确定数列
的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列
通项，然后利用错位相减法求数列
的前项和为
，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：
，为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意
，而的最值，需根据数列单调性确定.
试题解析：
解：（1）
为等差数列，且，
，即，
又公差
，，．
，．
（2）由（1）知数列的前
项为，
，
，
，
等比数列的前项为，，，
，
，
，①
，②
①
②得
．
，．
，
，且
，
时，
．
又
，
时，
，
存在
，使得对任意，总有
成立．
，
，
实数
的取值范围为
．
【题目】体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格.某班50名学生参加测试结果如下：
等级 | 优（86～100分） | 良（75～85分） | 中（60～74分） | 不及格（1～59分） |
人数 | 5 | 21 | 22 | 2 |
（1）估计该班学生体育测试的平均成绩；
（2）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“优”或“良”的概率.
【题目】为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物试验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为
.
未发病 | 发病 | 总计 | |
未注射疫苗 | 20 | x | A |
注射疫苗 | 40 | y | B |
总计 | 60 | 40 | 100 |
（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值．
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为疫苗有效？
附：
临界值表：
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
