题目内容
【题目】已知函数
，在区间
内任取两个实数
，
，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】
分析：首先，由
的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x）=
＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a的取值范围．
详解：∵的几何意义为：
表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．
不等式＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞﹣1，
∴f′（x）=＞1 在（1，2）内恒成立．
即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故 x=2时，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故选：A．
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