题目内容
【题目】如图,正三棱柱中,为的中点.
(1)求证:;
(2)若点为四边形内部及其边界上的点,且三棱锥的体积为三棱柱体积的,试在图中画出点的轨迹,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(1)取的中点,连接,首先证明平面得到,在正方形中,利用三角形全等可得,进而得到平面,即可得到结论;(2)取中点,连接,则线段为点的运动轨迹,可通过和证得平面可得结论.
试题解析:(1)证明:取的中点,连接,
∵平面,平面,
∴所以.
∵为正三角形,为的中点,∴,
又∵平面,,
∴平面,
又∵平面,所以
正方形中,∵,∴,
又∵,
∴,故,
又∵,平面,
∴平面,
又∵平面,∴.
(2)取中点,连接,则线段为点的运动轨迹.理由如下.
设三棱锥的高为,
依题意
故.
因为分别为中点,故,又因为平面,平面,
所以平面,所以到平面的距离为.