题目内容
【题目】如图,正三棱柱中
,
为
的中点.
(1)求证:;
(2)若点为四边形
内部及其边界上的点,且三棱锥
的体积为三棱柱
体积的
,试在图中画出
点的轨迹,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(1)取的中点
,连接
,首先证明
平面
得到
,在正方形
中,利用三角形全等可得
,进而得到
平面
,即可得到结论;(2)取
中点
,连接
,则线段
为点
的运动轨迹,可通过
和证得
平面
可得结论.
试题解析:(1)证明:取的中点
,连接
,
∵平面
,
平面
,
∴所以.
∵为正三角形,
为
的中点,∴
,
又∵平面
,
,
∴平面
,
又∵平面
,所以
正方形中,∵
,∴
,
又∵,
∴,故
,
又∵,
平面
,
∴平面
,
又∵平面
,∴
.
(2)取中点
,连接
,则线段
为点
的运动轨迹.理由如下.
设三棱锥的高为
,
依题意
故.
因为分别为
中点,故
,又因为
平面
,
平面
,
所以平面
,所以
到平面
的距离为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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