题目内容
【题目】已知函数f(x)=2x+2﹣x ,
(1)判断函数的奇偶性;
(2)用函数单调性定义证明:f(x)在(0,+∞)上为单调增函数;
(3)若f(x)=52﹣x+3,求x的值.
【答案】
(1)解:f(x)=2x+2﹣x的定义域为R,关于原点对称;
又f(﹣x)=2﹣x+2x=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(2)证明:设x1,x2是(0,+∞)任意的两个数且x1<x2,
则
=
= ,
∵0<x1<x2,y=2x是增函数,
∴ ;
∴ ;
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上是单调增函数
(3)解:由题意可知,2x+2﹣x=52﹣x+3
令2x=t,(t>0),则 .
解得t=﹣1(舍去)或者t=4.
即2x=4,
∴x=2.
【解析】(1)先求f(x)的定义域,再判断f(﹣x)与f(x)的关系即可;(2)先设x1 , x2是(0,+∞)任意的两个数且x1<x2 , 从而作差化简 = ,从而判号即可;(3)由题意可知,2x+2﹣x=52﹣x+3,利用换元法令2x=t,(t>0),从而得到 ,从而解出t,再求x.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较,以及对函数的奇偶性的理解,了解偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.