题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
和
,过点
的直线与椭圆相交与
两点,且
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线的斜率;
(3)设点与点
关于坐标原点对称,直线
上有一点
在
的外接圆上,且
,求椭圆方程.
【答案】(1).
(2).
(3).
【解析】
(1)由,
,得
,得到
的关系式,由此能求出离心率;(2)将椭圆的方程为写为
,设直线
的方程为
,设
,
,联立方程组,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出直线
的斜率;(3)求出
,
,取
,得
,推导出外接圆的方程,与直线
的方程联立解出
,得,再由
,解得
,由此能求出椭圆方程.
(1)由且
,得
,从而
整理,得,故离心率
.
(2)由(1)得,所以椭圆的方程可写为
设直线的方程为
,即
.
由已知设,则它们的坐标满足方程组
消去整理,得
.
依题意,,得
.
而 ①
②
由题设知,点为线段
的中点,所以
③
联立①③解得
将
代入②中,解得
.
(3)由(2)可知.
不妨取,得
,由已知得
.
线段的垂直平分线
的方程为
,直线
与
轴的交点
是
外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
.
直线的方程为
,于是点
的坐标满足方程组
,由
,解得
由 解得
故椭圆方程为.
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