题目内容
【题目】如图，三棱柱
中，已知四边形
是菱形，
与
交于点
，且
，
，
，
.
（1）连接
，证明：直线
平面
.
（2）求平面
和平面
所成的角（锐角）的余弦值.
【答案】(1)见解析(2) 
【解析】
（1）要证
平面
，转证
，
即可；
（2）以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立如图空间直角坐标系
，求出平面
和平面
的法向量,代入公式计算即可.
（1）因为平行四边形
是菱形，所以
，且是
的中点.
又因为
，
，所以且
.又因为
，
为公共边，所以
，所以
，故，从而
，，两两垂直.
所以平面.
（2）由（1）可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
因为，，两两垂直，所以
平面，
所以
是平面的一个法向量；
设
是平面的一个法向量，则
，即
，
令
，得
，
，所以
所以
所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为.
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