题目内容
5．设函数f（x）=x+$\frac{λ}{x}$，常数λ＞0．（1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证明；
（2）若f（x）在区间[1，4]上单调递增，求λ的取值范围；
（3）若方程f（x）=λ在区间[2，4]上有解，求λ的取值范围．
分析 （1）在区间[1，4]上任取两个值x1，x2∈[1，4]且x1＜x2，然后通过化简判定f（x1）-f（x2）的符号，最后根据单调性的定义进行判定即可；
（2）在区间[1，4]上任取两个值x1，x2∈[1，4]且x1＜x2，然后根据单调性得到f（x1）-f（x2）＜0恒成立，从而可求出所求；
（3）若方程f（x）=λ在区间[2，4]上有解，则若方程x2-λx+λ=0在区间[2，4]上有解，即方程λ=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$在区间[2，4]上有解，构造函数g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，x∈[2，4]，求出其值域，可得λ的取值范围．
解答 解：（1）若λ=1，则f（x）=x+$\frac{1}{x}$在区间[1，4]上的单调递增，理由如下：
?x1，x2∈[1，4]且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（x1+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x2+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x1-x2） $\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x1，x2∈[1，4]，x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在区间[1，4]上的单调递增．
（2）?x1，x2∈[1，4]且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（x1+$\frac{λ}{{x}_{1}}$）-（x2+$\frac{λ}{{x}_{2}}$）=（x1-x2）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-λ}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵f（x）在区间[1，4]上的单调递增
∴f（x1）-f（x2）＜0
∵1≤x1＜x2≤4，
∴x1x2-λ＞0对?x1，x2∈[1，4]且x1＜x2恒成立
即λ＜x1x2
∴λ≤1
∵λ＞0
∴0＜λ≤1
（3）若方程f（x）=λ在区间[2，4]上有解，
则若方程x2-λx+λ=0在区间[2，4]上有解，
即方程λ=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$在区间[2，4]上有解，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，x∈[2，4]，
则g′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{（x-1）^{2}}$≥0在x∈[2，4]时恒成立，
故g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，x∈[2，4]为增函数，
当x=2时，函数取最小值4，当x=4时，函数取最大值$\frac{16}{3}$，
故λ∈[4，$\frac{16}{3}$]
点评 本题主要考查了函数的单调性的判定，以及函数根据单调性求参数范围，同时考查了计算能力，属于中档题
阅读快车系列答案| A． | $\frac{π}{12}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{7π}{12}$ |
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