Question

14．给出下列三个命题：
（1）当x=1时，x+$\frac{4}{x+1}$的值最小；
（2）函数y=$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$有最小值2；
（3）函数y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$有最小值2；
上述命题中真命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 举例说明（1）错误；利用基本不等式求出最值说明（2）正确；由函数的单调性求出函数最值说明（3）错误．

解答 解：（1）当x→-∞时，y=x+$\frac{4}{x+1}$→-∞，函数y=x+$\frac{4}{x+1}$无最小值，（1）错误；
（2）y=$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{{x}^{2}+1+1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=\sqrt{{x}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2，当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，即x=0时“=”成立，（2）正确；
（3）令$\sqrt{{x}^{2}+2}=t（t≥\sqrt{2}）$，∴y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$化为g（t）=t+$\frac{1}{t}$，在[$\sqrt{2}$，+∞）上为增函数，$g（t）_{min}=g（\sqrt{2}）$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，（3）错误．
∴上述命题中真命题的个数是1个．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数最值的求法，利用基本不等式求函数的最值，注意“一正、二定、三相等”，是中档题．