Question

15．若x∈（0，$\frac{π}{2}$），$y∈（0，\frac{π}{2}）$，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{7π}{12}$

Answer 1

分析 先求出x+y的范围，设tan（x-y）=u，得到 w=tan（x+y）=$\frac{2u}{1+{3u}^{2}}$，从而求出tan（x+y）的范围即可．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），y∈（0，$\frac{π}{2}$），∴0＜x+y＜π．
设tan（x-y）=u，x-y∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），则u的值域是R，
∵tan2x=3tan（x-y）=3u，
∴tan（x+y）=tan[2x-（x-y）]=$\frac{tan2x-tan（x-y）}{1+tan2xtan（x-y）}$=$\frac{3u-u}{1+{3u}^{2}}$=$\frac{2u}{1+{3u}^{2}}$，
记为 w=tan（x+y）=$\frac{2u}{1+{3u}^{2}}$，
u=0时，w=tan（x+y）=0，
u≠0时：
|w|=$\frac{2|u|}{1+{3|u|}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{|u|}+3|u|}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当期仅当|u|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，取等号．
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤tan（x+y）≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴0＜x+y≤$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$≤x+y＜π，
故选：A．

点评 本题考查了三角函数问题，设tan（x-y）=u，得到w=tan（x+y）=$\frac{2u}{1+{3u}^{2}}$是解题的关键，本题是一道中档题．