Question

16．函数y=$\frac{{2x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$，x∈[1，4]的值域为[$\frac{7}{4}$，2]．

Answer 1

分析 利用分式的性质，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：y=$\frac{{2x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$=2-$\frac{1}{x}$+（$\frac{1}{x}$）²=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
设t=$\frac{1}{x}$，∵x∈[1，4]，
∴$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{4}$，1]，
即t∈[$\frac{1}{4}$，1]，
即函数等价为y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∵t∈[$\frac{1}{4}$，1]，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值为$\frac{7}{4}$，
当t=1时，函数取得最大值为y=（1-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{7}{4}$=2，
则$\frac{7}{4}$≤y≤2，
即函数的值域为[$\frac{7}{4}$，2]．
故答案为：[$\frac{7}{4}$，2]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的单调性是解决本题的关键．