题目内容
8.(1)已知圆(x+2)2+y2=1过椭圆C的一个顶点和焦点,求椭圆C标准方程.(2)已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{8+k}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$,求k的值.
分析 (1)求出圆与x轴的交点,可得椭圆的一个焦点和一个顶点,再由a,b,c的关系可得椭圆方程;
(2)讨论焦点在x,y轴上,求得a,b,c,e,解方程可得k的值.
解答 解:(1)圆(x+2)2+y2=1与x轴的交点为(-1,0),(-3,0),
由题意可得椭圆的一个焦点为(-1,0),一个顶点为(-3,0),
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),
可得a=3,c=1,b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1;
(2)当焦点在x轴上时,
椭圆$\frac{{x}^{2}}{8+k}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a2=8+k,b2=9,
c2=k-1,e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{k-1}{8+k}$=$\frac{1}{4}$,
解得k=4;
当焦点在y轴上时,
椭圆$\frac{{x}^{2}}{8+k}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的b2=8+k,a2=9,
c2=1-k,e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1-k}{9}$=$\frac{1}{4}$,
解得k=-$\frac{5}{4}$.
综上可得k=4或-$\frac{5}{4}$.
点评 本题考查椭圆的方程和性质,考查离心率的运用,同时考查圆的方程的运用,注意运用分类讨论的思想方法,属于中档题.
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