Question

17．已知函数f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+φ）（π＜φ＜$\frac{3π}{2}$），其图象经过（$\frac{5π}{6}$，2）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[$\frac{3π}{2}$，2π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意结合π＜φ＜$\frac{3π}{2}$可得φ值；
（Ⅱ）由x∈[$\frac{3π}{2}$，2π]，结合三角函数的值域可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得f（$\frac{5π}{6}$）=2sin（$\frac{3}{2}$×$\frac{5π}{6}$+φ）=2，
结合π＜φ＜$\frac{3π}{2}$可得φ=$\frac{5π}{4}$，
∴f（x）的表达式为：f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{5π}{4}$）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{5π}{4}$）=-2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[$\frac{3π}{2}$，2π]，∴$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{2}$，$\frac{13π}{4}$]，
∴当$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{13π}{4}$即x=2π时，函数取最大值$\sqrt{2}$；
∴当$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{2}$即x=$\frac{3π}{2}$时，函数取最小值-2．

点评 本题考查三角函数的最值和解析式的求解，属基础题．