Question

18．设函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简已知函数可得f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得；
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，可得三角函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）化简已知函数可得f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x
=1+sin2x+cos2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{8}$时，f（x）有最大值$\sqrt{2}$+1，
当2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$即x=-$\frac{3π}{8}$时，f（x）有最小值-$\sqrt{2}$+1

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的单调性和周期性，属基础题．