题目内容
【题目】已知点
、
分别是椭圆
的上、下顶点，以
为直径作圆
，直线
与椭圆
交于、
两点，与圆交于、
两点.
（1）若直线的倾斜角为
，求
（
为坐标原点）的面积；
（2）若点
、
分别在直线
、
上，且
，求直线的斜率.
【答案】（1）
；（2）
或
.
【解析】
（1）将直线
的方程与椭圆的方程联立，求出点
的坐标，计算出点
的横坐标，利用三角形的面积公式可计算出
的面积；
（2）设直线的方程为
，与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求点
的坐标，由
可知直线
、
的斜率互为相反数，利用斜率公式可得出关于
的方程，解出即可.
（1）依题意，可知
，
，直线
.
联立
，消去
可得
，故
.
将点横坐标代入直线的方程可得
.
易知
，故的面积
；
（2）设直线
，联立
，得
，
设
，依题意
，
.
因为
，所以
，故
:
，则点
.
若，则
，即
，
解得
，即直线的斜率为或.
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