题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点
在抛物线
:
上,直线
:
与抛物线
交于
,
两点,且直线
,
的斜率之和为-1.
(1)求和
的值;
(2)若,设直线
与
轴交于
点,延长
与抛物线
交于点
,抛物线
在点
处的切线为
,记直线
,
与
轴围成的三角形面积为
,求
的最小值.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)将点代入抛物线
:
,得
,联立直线
与抛物线方程,消去
,得
,则
,
,由
,求出
;(2)求出直线DM的方程为
,联立直线DM的方程和抛物线的方程,求出
,利用导数的几何意义,求出切线n的斜率为
,得到切线n的方程
,联立直线DM、n的方程,求出Q点的纵坐标
,且
,采用导数的方法得出单调性,由单调性求出最小值。
试题解析:(1)将点代入抛物线
:
,得
,
,得
,
设,
,则
,
,
解法一:
,
由已知得,所以
,
.
解法二:
,
由已知得.
(2)在直线的方程
中,令
得
,
,
直线的方程为:
,即
,
由,得
,
解得: ,或
,所以
,
由,得
,
,切线
的斜率
,
切线的方程为:
,即
,
由,得直线
、
交点
,纵坐标
,
在直线,
中分别令
,得到与
轴的交点
,
,
所以
,
,
,
当时,函数单调递减;当
时,函数单调递增;
∴当时,
最小值为
.
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