题目内容
【题目】已知函数.
(1)设是
的反函数.当
时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰好有一个元素,求实数
的值;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】
(1)先由,得到
,求出其反函数
,解对应不等式,即可得出结果;
(2)先由得到
,分别讨论
和
两种情况,即可得出结果;
(3)根据复合函数单调性,得到在区间
上单调递减,求出其最值,根据题意,得到
,推出
对任意的
恒成立,令
,求出
的最大值,即可得出结果.
(1)当时,
,由
得
,所以
,
因为是
的反函数,
所以,
,
由得
,所以:
,解得:
,
即不等式的解集为
;
(2)方程即
,
所以,
①,则
,经过验证,满足关于
的方程
的解集中恰好有一个元素;
②时,(i)若
,解得
,代入
,解得
,经过验证,满足关于
的方程
的解集中恰好有一个元素;
(ii)若,则
;
当时,由
解得:
或
,即方程
的解要在
范围内,
解方程得
,因为
,
所以为使关于的方程
的解集中恰好有一个元素,
只需,即
,显然不成立;
当时,由
解得:
,即方程
的解要在
范围内,
解方程得
,因为
,所以
,
,且
,
因此只需,即
,
即,解得:
,与
矛盾,也不满足题意;
综上,实数的值为
或
;
(3)由对数函数的单调性可得单调递增,根据幂函数单调性可得
在
上单调递减,因为
,
,
所以,根据复合函数单调性,可得在区间
上单调递减,
因此,
,
又函数在区间
上的最大值与最小值的差不超过
,
所以,
即,整理得
,即
对任意的
恒成立,
令,
,
任取,则
,
因为,所以
,
,
,
因此,即
;
所以在
上单调递减,
所以,
因此,只需.
故的取值范围为
.
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