题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
，顶点
在底面
上的射影恰为点
，且
（1）证明：平面
平面
；
（2）求棱
与
所成的角的大小；
（3）若点
为
的中点，并求出二面角
的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
．
【解析】
试题（1）因为顶点在
在底面
上的的射影恰好为
得到
，又
，利用线面垂直的判定定理可得平面
平面
；（2）建立空间直角坐标系，求出
，
，利用向量的数量积公式求出棱
与
所成的角的大小；（3）求出平面
的法向量
，而平面
的法向量
，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值．
试题解析：（1）证明：
，
，又，
，
，
，
．
（2）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，，
，
故与棱所成的角是．
（3）因为
为棱
的中点，故易求得
．设平面的法向量为
，
则
，由
，得
，令
，则
，
而平面的法向量．则
．
由图可知二面角
为锐角，故二面角的平面角的余弦值是．
【题目】去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A,B,C,D四个等级，等级评定标准如下表所示.
评估得分 | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100) |
评定等级 | D | C | B | A |
（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；
（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率.
【题目】已知一工厂生产了某种产品700件，该工厂对这些产品进行了安全和环保这两个性能的质量检测。工厂决定利用随机数表法从中抽取100件产品进行抽样检测，现将700件产品按001，002，…,700进行编号；
（1）如果从第8行第4列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3件产品的编号；
（下面摘取了随机数表的第7～9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
（2）抽取的100件产品的安全性能和环保性能的质量检测结果如下表：
检测结果分为优等、合格、不合格三个等级，横向和纵向分别表示安全性能和环保性能。若在该样本中，产品环保性能是优等的概率为
，求
，
的值。
件数 | 环保性能 | |||
优等 | 合格 | 不合格 | ||
安全性能 | 优等 | 6 | 20 | 5 |
合格 | 10 | 18 | 6 | |
不合格 |
| 4 |
| |
（3）已知
，
，求在安全性能不合格的产品中，环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率。