题目内容
20.已知F1、F2是椭圆$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1的两个焦点,P是椭圆上任意一点(1)∠F1PF2=$\frac{π}{3}$,求△F1PF2的面积
(2)求|PF1||PF2|的最大值.
分析 (1)根据椭圆的定义,结合余弦定理和正弦定理求出△F1PF2的面积;
(2)根据椭圆的定义,结合基本不等式,求出|PF1||PF2|的最大值.
解答 解:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n,
根据椭圆的定义得m+n=20;
在△F1PF2中,由余弦定理得即m2+n2-2mn•cos$\frac{π}{3}$=122;
∴m2+n2-mn=144,即(m+n)2-3mn=144;
∴202-3mn=144,即mn=$\frac{256}{3}$;
∴△F1PF2的面积S=$\frac{1}{2}$mn•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$;
(2)m+n=20≥2$\sqrt{mn}$,
∴mn≤($\frac{m+n}{2}$)2=100,
当且仅当m=n=10时,等号成立;
∴|PF1|PF2|的最大值为100.
点评 本题考查了椭圆的定义与几何性质的应用问题,也考查了余弦定理的应用问题,是综合性题目.
练习册系列答案
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