题目内容
设函数.
(1)若函数是定义域上的单调函数,求实数的取值范围;
(2)求函数的极值点.
(1)若函数是定义域上的单调函数,求实数的取值范围;
(2)求函数的极值点.
(1)(2)时,在上有唯一的极小值点;
时,有一个极大值点和一个极小值点;时,函数在上无极值点.
时,有一个极大值点和一个极小值点;时,函数在上无极值点.
(1)先求导,可得,因为函数是定义域上的单调函数,所以只能是上恒成立,也就是说函数f(x)只能是增函数,到此问题基本得解.
(2)在(1)的基础上,可知当时,的点是导数不变号的点,函数无极值点;然后再分和两种情况进一步研究.
解:(1),若函数是定义域上的单调函数,
则只能在上恒成立,即在上恒成立.,
,
令,则,可得,即只要.
(或令,则函数图象的对称轴方程是,故只要恒成立,)
(2)有(1)知当时,的点是导数不变号的点,
故时,函数无极值点;
当时,的根是,
若,,此时,,且在上,
在上,故函数有唯一的极小值点;
当时,,此时,
在都大于,在上小于 ,
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知,时,在上有唯一的极小值点;
时,有一个极大值点和一个极小值点;时,函数在上无极值点.
(2)在(1)的基础上,可知当时,的点是导数不变号的点,函数无极值点;然后再分和两种情况进一步研究.
解:(1),若函数是定义域上的单调函数,
则只能在上恒成立,即在上恒成立.,
,
令,则,可得,即只要.
(或令,则函数图象的对称轴方程是,故只要恒成立,)
(2)有(1)知当时,的点是导数不变号的点,
故时,函数无极值点;
当时,的根是,
若,,此时,,且在上,
在上,故函数有唯一的极小值点;
当时,,此时,
在都大于,在上小于 ,
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知,时,在上有唯一的极小值点;
时,有一个极大值点和一个极小值点;时,函数在上无极值点.
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