题目内容

设函数.
(1)若函数是定义域上的单调函数,求实数的取值范围;
(2)求函数的极值点.
(1)(2)时,上有唯一的极小值点
时,有一个极大值点和一个极小值点时,函数上无极值点.
(1)先求导,可得,因为函数是定义域上的单调函数,所以只能是上恒成立,也就是说函数f(x)只能是增函数,到此问题基本得解.
(2)在(1)的基础上,可知当时,的点是导数不变号的点,函数无极值点;然后再分两种情况进一步研究.
解:(1),若函数是定义域上的单调函数,
则只能上恒成立,即上恒成立.,

,则,可得,即只要.
(或令,则函数图象的对称轴方程是,故只要恒成立,)
(2)有(1)知当时,的点是导数不变号的点,
时,函数无极值点;
时,的根是
,此时,且在
,故函数有唯一的极小值点
时,,此时
都大于上小于 ,
此时有一个极大值点和一个极小值点
综上可知,时,上有唯一的极小值点
时,有一个极大值点和一个极小值点时,函数上无极值点.
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