Question

8．如图，某工业园区有一边长为2（单位：千米）的正方形地块OABC，其中OCE（阴影部分）是一个已建工厂，计划在地块OABC内修一条与曲边OE相切的直路l（宽度不计），切点为P，直线l把该地块分为两部分，已知曲线段OE是以点O为顶点，OC为对称轴且开口向上的抛物线的一段，CE=$\sqrt{2}$．
（1）建立适当的坐标系，求曲线段OE的方程；
（2）在（1）的条件下设点P到边OC的距离为t．
（i）当t=1时，求直路l所在的直线方程；
（ii）若$\frac{6}{5}$≤t$≤\frac{4}{3}$，试问当t为何值时，地块OABC在直路l不含已建工厂那侧的面积取到最大，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系，设曲线OE的方程为y=ax²，求得E的坐标，代入抛物线方程，即可解得a=1，进而得到所求方程；
（2）（i）求出y=x²的导数，求得切线的斜率，令t=1，得到切线方程；
（ii）由（i）知切线方程为y-t²=2t（x-t），分别令y=0，y=2，求得x（t），运用导数，判断单调性，求得x（t）的范围，求得面积S的解析式，运用导数即可求得最大值．

解答 解：（1）以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，
建立直角坐标系，
设曲线OE的方程为y=ax²，
由E（$\sqrt{2}$，2）在抛物线上，可得a=1，
则有OE：y=x²（0≤x≤$\sqrt{2}$）；
（2）（i）y=x²的导数为y′=2x，
当t=1时，k=2，由直线过P（1，1），
则有直线方程为y-1=2（x-1），即为2x-y-1=0；
（ii）由（i）知切线方程为y-t²=2t（x-t），令y=0可得x=$\frac{t}{2}$，
令y=2可得x=$\frac{1}{t}$+$\frac{t}{2}$，由$\frac{6}{5}$≤t$≤\frac{4}{3}$，x′（t）=-$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{t}^{2}-2}{2{t}^{2}}$＜0，
x（t）=$\frac{1}{t}$+$\frac{t}{2}$递减，x（t）∈[$\frac{17}{12}$，$\frac{43}{30}$]⊆[$\sqrt{2}$，2]，
面积S=4-$\frac{1}{2}$（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{t}$+$\frac{t}{2}$）×2=4-（t+$\frac{1}{t}$），
令g（t）=t+$\frac{1}{t}$，g′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
由$\frac{6}{5}$≤t$≤\frac{4}{3}$，可得g′（t）＞0，
g（t）在定义域内递增，即有g（t）_min=g（$\frac{6}{5}$）=$\frac{61}{30}$，
S_max=4-$\frac{61}{30}$=$\frac{59}{30}$．
故当t=$\frac{6}{5}$时，地块OABC在直路l不含已建工厂那侧的面积取到最大，
最大值是$\frac{59}{30}$．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，
属于中档题．