Question

6．在△ABC中，a=3，b=2$\sqrt{6}$，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值．

Answer 1

分析 （ I）由正弦定理得$\frac{3}{sinA}=\frac{{2\sqrt{6}}}{sin2A}$，结合二倍角公式及sinA≠0即可得解．
（ II）由（ I）可求sinA，又根据∠B=2∠A，可求cosB，可求sinB，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得sinC，利用正弦定理即可得解．

解答 解：（ I）因为a=3，b=2$\sqrt{6}$，∠B=2∠A．
所以在△ABC中，由正弦定理得$\frac{3}{sinA}=\frac{{2\sqrt{6}}}{sin2A}$．
所以$\frac{2sinAcosA}{sinA}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
故$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（ II）由（ I）知$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
又因为∠B=2∠A，
所以$cosB=2{cos^2}A-1=\frac{1}{3}$．
所以$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
在△ABC中，$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$．
所以$c=\frac{asinC}{sinA}=5$．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．