Question

15．观察下列不等式1＞$\frac{1}{2}$，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＞1，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$＞$\frac{3}{2}$，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{15}$＞2，…，则可归纳出一般性的不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 由已知的式子可发现左边为正整数的倒数和，第一个式子一个数，第二个式子3个数，第三个式子7个数，第四个式子15个数，可猜测第n个式子应为2ⁿ-1个数；式子右侧为$\frac{1}{2}$，1，$\frac{3}{2}$，2，…，即为$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{2}$，…，故第n个应为$\frac{n}{2}$．

解答 解：观察已知中的不等式：
1＞$\frac{1}{2}$，
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＞1，
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$＞$\frac{3}{2}$，
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{15}$＞2，
…，
归纳可得：第n个不等式为：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$，
故答案为：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．