题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,试讨论方程
的解的个数;
(2)若曲线和
上分别存在点
,
,使得
是以原点
为直角顶点的直角三角形,且斜边
的中点在
轴上,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)求出导函数,由导函数确定函数的单调性,作出函数的大致图象,通过图象确定方程
解的个数;
(2)设,
,由
,
,
,题意说明
,代入得
,化简后有
,从而
,只要求得
(
)的值域即得
的范围.
(1)当,
,
;
又的定义域为
;
当时,
恒成立.
所以,在
上单调递减,在
也单调递减,图象如图所示.
因此,当即
时,方程无解;
当即
时,方程有唯一解.
(2)设,
,
,
,
则,
,∴
.
,
,
由题意,,即
,
∴,
∵,
∴,
则.
设,则
,
∵,
∴,
即函数在
上为增函数,
则,
即.
∴实数的取值范围是
.
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