题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
：
上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是
与
，的左顶点为
与
轴平行的直线与椭圆交于
、
两点，过、两点且分别与直线
、
垂直的直线相交于点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求
面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析，
；（3）
.
【解析】
（1）根据椭圆的性质可以由椭圆
：
上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是
与
得到两个方程，解方程即可求出椭圆的标准方程；
（2）设
，
，显然直线
，
，
，
的斜率都存在，设为
，
，
，
，求出它们的表达式，求出直线，的方程，消去
，最后可以证明点
在一条定直线上运动；
（3）由（2）得点的纵坐标，求出
的表达式，再利用均值不等式求出面积的最大值.
（1）因为椭圆：上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是与，所以有
，
的标准方程为.
（2）设，，显然直线，，，的斜率都存在，设为，，，，则
，
，
，
，所以直线，的方程为：
，
，消去得
，化简得，故点在定直线上运动.
（3）由（2）得点的纵坐标为
，
又
，所以
，则
，
所以点到直线
的距离
为
，
将
代入得
，
所以面积
，当且仅当
，即
时等号成立，故时，面积的最大值为.
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