题目内容

【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)= +a.
(1)当a=2 时,求F(x)=f(x)﹣g(x)在(0,2]的最大值;
(2)讨论函数F(x)=f(x)﹣g(x) 的单调性;
(3)若f(x)g(x)≤0 在定义域内恒成立,求实数a的取值集合.

【答案】
(1)解:a=2时,F(x)=lnx﹣2x﹣ ﹣2,

F′(x)= =

F(x)在(0,1)内递增,在(1,2)递减,

故F(x)在x=1取最大值﹣5;


(2)解:F(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣ax﹣ ﹣a,

F′(x)=

①a≤0时,F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)递增,

②a>0时,令F′(x)>0,解得:0<x<

令F′(x)<0,解得:x>

故F(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减;


(3)解:若f(x)g(x)≤0 在定义域内恒成立,

①f(x)≤0,g(x)≥0同时恒成立,

由f(x)=lnx﹣ax≤0,a≥ 恒成立,

令h(x)= ,h′(x)=

令h′(x)>0,解得:x<e,令h′(x)<0,解得:x>e,

故h(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减,

故h(x)max=h(e)= ,故a≥

②f(x)≥0,g(x)≤0同时恒成立,a不存在,

③a<0时,f(x)=lnx﹣ax递增,g(x)= +a递减,

若它们有共同零点,则f(x)g(x)≤0恒成立,

由f(x)=lnx﹣ax=0,g(x)= +a=0联立方程组解得:a=﹣e,

综上,a≥ 或a=﹣e.


【解析】(1)求出函数的导数,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值即可;(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(3)问题转化为f(x)≤0,g(x)≥0同时恒成立,f(x)≥0,g(x)≤0同时恒成立,a不存在,③a<0时,f(x)=lnx﹣ax递增,g(x)递减,求出a的值即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.

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