Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）= +a．
（1）当a=2 时，求F（x）=f（x）﹣g（x）在（0，2]的最大值；
（2）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x） 的单调性；
（3）若f（x）g（x）≤0 在定义域内恒成立，求实数a的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2时，F（x）=lnx﹣2x﹣ ﹣2，

F′（x）= = ，

F（x）在（0，1）内递增，在（1，2）递减，

故F（x）在x=1取最大值﹣5；

（2）解：F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax﹣ ﹣a，

F′（x）= ，

①a≤0时，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）递增，

②a＞0时，令F′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，

令F′（x）＜0，解得：x＞ ，

故F（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减；

（3）解：若f（x）g（x）≤0 在定义域内恒成立，

①f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立，

由f（x）=lnx﹣ax≤0，a≥ 恒成立，

令h（x）= ，h′（x）= ，

令h′（x）＞0，解得：x＜e，令h′（x）＜0，解得：x＞e，

故h（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，

故h（x）max=h（e）= ，故a≥ ；

②f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立，a不存在，

③a＜0时，f（x）=lnx﹣ax递增，g（x）= +a递减，

若它们有共同零点，则f（x）g（x）≤0恒成立，

由f（x）=lnx﹣ax=0，g（x）= +a=0联立方程组解得：a=﹣e，

综上，a≥ 或a=﹣e．

【解析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）问题转化为f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立，f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立，a不存在，③a＜0时，f（x）=lnx﹣ax递增，g（x）递减，求出a的值即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．