题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)= +a.
(1)当a=2 时,求F(x)=f(x)﹣g(x)在(0,2]的最大值;
(2)讨论函数F(x)=f(x)﹣g(x) 的单调性;
(3)若f(x)g(x)≤0 在定义域内恒成立,求实数a的取值集合.
【答案】
(1)解:a=2时,F(x)=lnx﹣2x﹣ ﹣2,
F′(x)= = ,
F(x)在(0,1)内递增,在(1,2)递减,
故F(x)在x=1取最大值﹣5;
(2)解:F(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣ax﹣ ﹣a,
F′(x)= ,
①a≤0时,F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)递增,
②a>0时,令F′(x)>0,解得:0<x< ,
令F′(x)<0,解得:x> ,
故F(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减;
(3)解:若f(x)g(x)≤0 在定义域内恒成立,
①f(x)≤0,g(x)≥0同时恒成立,
由f(x)=lnx﹣ax≤0,a≥ 恒成立,
令h(x)= ,h′(x)= ,
令h′(x)>0,解得:x<e,令h′(x)<0,解得:x>e,
故h(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减,
故h(x)max=h(e)= ,故a≥ ;
②f(x)≥0,g(x)≤0同时恒成立,a不存在,
③a<0时,f(x)=lnx﹣ax递增,g(x)= +a递减,
若它们有共同零点,则f(x)g(x)≤0恒成立,
由f(x)=lnx﹣ax=0,g(x)= +a=0联立方程组解得:a=﹣e,
综上,a≥ 或a=﹣e.
【解析】(1)求出函数的导数,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值即可;(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(3)问题转化为f(x)≤0,g(x)≥0同时恒成立,f(x)≥0,g(x)≤0同时恒成立,a不存在,③a<0时,f(x)=lnx﹣ax递增,g(x)递减,求出a的值即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在
【题目】为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性,并将它们各自量化为1、2、3三个等级,再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养;若w≥7,则数学核心素养为一级;若5≤w≤6,则数学核心素养为二级;若3≤w≤4,则数学核心素养为三级,为了了解某校学生的数学核素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下结果:
学生编号 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
(x,y,z) | (2,2,3) | (3,2,3) | (3,3,3) | (1,2,2) | (2,3,2) | (2,3,3) | (2,2,2) | (2,3,3) | (2,1,1) | (2,2,2) |
(1)在这10名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同的概率;
(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人,其综合指标为a,从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人,其综合指标为b,记随机变量X=a﹣b,求随机变量X的分布列及其数学期望.