题目内容
19.在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a、b、c,且a=b,sinA+cosC=0.(1)求角A的大小;
(2)若BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$,求△ABC的面积.
分析 (1)由a=b得A=B,由内角和定理可得C=π-2A,代入已知的式子利用诱导公式、二倍角公式化简,求出sinA的值,由内角的范围求出角A;
(2)由(1)求出角C,在△ABM中由余弦定理列出方程,由正弦定理列出方程,化简求出a、b、c的值,代入三角形的面积公式求出△ABC的面积.
解答 解:(1)由a=b得A=B,所以C=π-2A,…(2分)
因为sinA+cosC=0,所以sinA+cos(π-2A)=0,则sinA-cos2A=0,
即2sin2A+sinA-1=0,
解得sinA=$\frac{1}{2}$或sinA=-1(舍),
由A=B知角A为锐角,故$A=\frac{π}{6}$. …(6分)
(2)由A=B=$\frac{π}{6}$得C=$\frac{2π}{3}$,
在△ABC中,由于BC边上中线AM的长为$\sqrt{7}$,
在△ABM中,由余弦定理得$A{M}^{2}={c}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-2c•\frac{a}{2}•cos\frac{π}{6}$,
则7=${c}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}ac$ ①…(8分)
在△ABC中,由正弦定理得$\frac{a}{sin\frac{π}{6}}=\frac{b}{sin\frac{π}{6}}=\frac{c}{sin\frac{2π}{3}}$,
即a=b=$\frac{c}{\sqrt{3}}$ ②…(10分)
由①②解得a=b=2、c=2$\sqrt{3}$; …(12分)
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$. …(13分)
点评 本题考查正弦、余弦定理,诱导公式、二倍角公式,以及三角形的面积公式,注意内角的范围,属于中档题.
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
A. | {2} | B. | {1,2} | C. | {0,-1,1} | D. | {-1,1} |