题目内容
13.已知函数y=$\frac{a{x}^{2}-8x+b}{{x}^{2}+1}$的值域是[1,9],则a+b=10.分析 化简可得1≤$\frac{a{x}^{2}-8x+b}{{x}^{2}+1}$≤9,且等号可以取到;从而可得$\left\{\begin{array}{l}{1-a<0}\\{64-4(1-a)(1-b)=0}\\{9-a>0}\\{64-4(9-a)(9-b)=0}\end{array}\right.$,从而解得.
解答 解:∵函数y=$\frac{a{x}^{2}-8x+b}{{x}^{2}+1}$的值域是[1,9],
∴1≤$\frac{a{x}^{2}-8x+b}{{x}^{2}+1}$≤9,且等号可以取到;
∴(1-a)x2+8x+1-b≤0恒成立且(9-a)x2+8x+9-b≥0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a<0}\\{64-4(1-a)(1-b)=0}\\{9-a>0}\\{64-4(9-a)(9-b)=0}\end{array}\right.$,
解得,a=b=5,
故答案为:10.
点评 本题考查了函数的值域的应用.
练习册系列答案
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