Question

（12分）
已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知；

（1）求证：平面；
（2）求到平面的距离；
（3）求二面角的余弦值；

Answer 1

(1)略
(2)略
(3)

（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D   
∴平面A1ACC1⊥平面ABC∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC="AC  "
∴BC⊥平面A1ACC1   ∴BC⊥AC1
∵AC1⊥BA1且BC∩BA1="B  " ∴AC1⊥平面A1BC ----------4分
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系

∵AC1⊥平面A1BC   ∴AC1⊥A1C
∴四边形A1ACC1是菱形   ∵D是AC中点  
∴∠A1AD=60°∴A(2,0,0)  A1(1,0,)  B(0,2,0)
C1(-1,0,)   ∴=(1,0,) =(-2,2,0)
设平面A1AB的法向量="(x,y,z)  " ∴ 令z="1 " ∴=(,,1)
∵="(2,0,0)   " ∴  ∴C1到平面A1AB的距离是 --8分
（3）平面A1AB的法向量=(,,1)   平面A1BC的法向量=(-3,0,)
∴   设二面角A-A1B-C的平面角为，为锐角，
∴   ∴二面角A-A1B-C的余弦值为     ---------------12分