Question

【题目】已知函数f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数y=f（x）的值域是（﹣∞，1]．

（1）确定b的值；

（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，并求a的值；

（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)b=1;(2)见解析;(3)

【解析】

(1)利用f（﹣x）+f（x）=0求出b的值.(2)利用函数单调性的定义证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，再利用y=f（x）的值域是（﹣∞，1]求出a的值.(3)首先转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，再转化为k＜3t2﹣2t的最小值，求3t2﹣2t的最小值即得解.

（1）∵函数f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，

∴loga+loga=loga（）=0，即=1，

∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=1（﹣1舍去），

当b=1时，函数f（x）=loga为奇函数，满足条件．

（2）证明：设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，由g（x）==﹣1+，

g（x1）﹣g（x2）=，

x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，（1+x1）（1+x2）＞0，

则g（x1）﹣g（x2）＞0，即有g（x）在（﹣1，1）递减，

由f（x）=logag（x），0＜a＜1可得，

f（x）在（﹣1，1）递增；

∴函数f（x）=loga在x∈（﹣1，a）上单调递增，

∵当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，

∴f（a）=1，即f（a）=loga=1，∴=a，

即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+；

（3）对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，

即有f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

由f（x）在（﹣1，1）递增，

可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，

可得k＜3t2﹣2t的最小值，

由3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣，可得t=，取得最小值﹣，可得k＜﹣．检验成立．

则k的取值范围是（﹣∞，﹣）．