Question

20．如图所示，AD是半径为5的半圆O的直径，B，C是半圆O上的两点，cos∠AOB=$\frac{4}{5}$，AB=BC，
（Ⅰ）求cos∠ABC的值
（Ⅱ）求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （I）由AB=BC，可得∠AOB=∠COB=∠ADC．利用A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=180°-∠ADC，即可得出．
（II）在△AOB中，由余弦定理可得：AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB．即可得出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|$cos∠ABC．

解答 解：（I）∵AB=BC，∴∠AOB=∠COB=∠ADC．
又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ABC=180°-∠ADC，
∴cos∠ABC=cos（180°-∠ADC）=-cos∠ADC=-cos∠AOB=-$\frac{4}{5}$．
（II）在△AOB中，由余弦定理可得：AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB=$25+25-2×5×5×\frac{4}{5}$=10，
∴|AB|=|BC|=$\sqrt{10}$．
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|$cos∠ABC=$\sqrt{10}×\sqrt{10}×（-\frac{4}{5}）$=-8．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、圆的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．